Η μοναδικότητα των δυνάμεων της παγκόσμιας έλξης και του αρμονικού ταλαντωτή

Posted on 01/12/2014

0


 Μια στοιχειώδης απόδειξη του θεωρήματος Bertrand

Ένα εντυπωσιακό συμπέρασμα της νευτώνειας μηχανικής είναι το γεγονός οι δέσμιες τροχιές σωμάτων (αυτές που δεν εκτείνονται στο άπειρο) μπορούν να είναι κλειστές ΜΟΝΟ όταν στα σώματα δρουν δυο (2) είδη ελκτικών κεντρικών δυνάμεων:

(α) δυνάμεις ανάλογες με την απόσταση – πρόκειται για δυνάμεις που οφείλονται στο δυναμικό του τρισδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή V(r) = ½ k rκαι

(β) δυνάμεις αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της απόστασης – δυνάμεις που οφείλονται σε δυναμικό τύπου Coulomb V(r) =−k/r

Και δεδομένου ότι το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή δεν μπορεί να υπάρξει σε αστρονομικές αποστάσεις, η βαρυτική δύναμη του Newton που είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης  (νόμος της παγκόσμιας έλξης), είναι η ΜΟΝΗ δυνατή δύναμη που μπορεί να δώσει κλειστές και σταθερές πλανητικές τροχιές.

Την μοναδική ιδιαιτερότητα αυτών των δυο δυνάμεων απέδειξε το 1873 ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Bertrand. Την απόδειξη, που ονομάζεται θεώρημα Bertrand, μπορεί να βρει κανείς π.χ. στο παράρτημα (*) της «Κλασικής Μηχανικής» του Herbert Goldstein:

Επειδή η κατανόηση της παραπάνω απόδειξης απαιτεί κάποια προαπαιτούμενα, ο Siu A. Chin ισχυρίζεται ότι βρήκε μια αληθινά στοιχειώδη απόδειξη του θεωρήματος Bertrand και την δημοσιεύει στο arxiv.org με τίτλο «A truly elementary proof of Bertrand’s theorem».

====================================================
(*) Σημειώνεται ότι το κλασικό βιβλίο  του Goldstein «Κλασική Μηχανική» το βρίσκει κανείς πολύ εύκολα στο διαδίκτυο π.χ. ΕΔΩ