Ένας εύκολος τρόπος προσδιορισμού του ηλεκτρικού πεδίου

Posted on 10/10/2014

0


… που δημιουργεί ομοιόμορφα φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα

Ένα κλασικό πρόβλημα με το οποίο βρίσκονται αντιμέτωποι οι φοιτητές που παρακολουθούν το μάθημα του ηλεκτρομαγνητισμού είναι ο προσδιορισμός της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου από ένα ομοιόμορφα φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα.

Όσοι έχουν καταπιαστεί με το πρόβλημα αυτό ξέρουν ότι απαιτεί μια κάποια μαθηματική προσπάθεια για να λυθεί. Αυτό που ίσως δεν γνωρίζουν, είναι ότι ο προσδιορισμός της κατεύθυνσης της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου μπορεί να γίνει με έναν απλούστατο «γεωμετρικό τυφλοσούρτη», χωρίς καμία μαθηματική πράξη. Ας δούμε πως.

Θεωρούμε ένα θετικά ομοιόμορφα φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα ab. Θέλουμε να προσδιορίσουμε την κατεύθυνση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα τυχαίο σημείο Ρ.
electrostaticΧωρίς να κάνουμε κανέναν υπολογισμό, ενώνουμε το σημείο Ρ με τα άκρα a και b του ευθυγράμμου τμήματος και φέρνουμε την διχοτόμο της γωνίας (aΡb) που σχηματίζεται.

Η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου θα βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας (aΡb)!

Μια άμεση εφαρμογή του παραπάνω τυφλοσούρτη: Θεωρούμε μια ημιάπειρη γραμμική κατανομή ηλεκτρικού φορτίου. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε διάφορα σημεία της καθέτου στην ημιευθεία στο σημείο a θα είναι όπως στο στο παρακάτω σχήμα:

electrostatic1

Στην περίπτωση της ημιάπειρης γραμμικής κατανομής, τα διανύσματα της έντασης του πεδίου θα έχουν κλίση 45o

Πως αποδεικνύεται αυτός ο τυφλοσούρτης;electrostatic2Για να υπολογίσουμε την συνολική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο Ρ, θεωρούμε αρχικά την ένταση dE που δημιουργεί το στοιχειώδες τμήμα dx του ab.

Αν λ είναι η γραμμική πυκνότητα φορτίου τότε

dE = k dq/r^{2} = k \lambda dx/r^{2}

Δεδομένου ότι ισχύει:r=y/\cos\theta και x=y \tan \theta \Rightarrow dx = y d\theta /(\cos \theta)^{2} , θα έχουμε:

dE = \frac{\lambda y d\theta}{y^{2}}

Παρατηρούμε ότι η dE είναι ίση με την ένταση που δημιουργεί το στοιχειώδες τμήμα τόξου του κύκλου κέντρου Ρ και ακτίνας y.

Αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε την ένταση που δημιουργεί το τόξο (του κύκλου κέντρου Ρ και ακτίνας y) που ορίζουν οι γωνίες θb και θa του παραπάνω σχήματος. Κι αν κάνουμε αυτόν τον υπολογισμό … προκύπτει ότι η ένταση του πεδίου βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας (θb – θa) ή αλλιώς της γωνίας (aΡb)…
… περισσότερες λεπτομέρειες θα βρείτε ΕΔΩ: «A geometric method to determine the direction of electric field due to a uniformly charged line segment», Fulin Zuo

Ετικέτα: