Η πιο «φρικτή» συνάρτηση των μαθηματικών

Posted on 19/06/2013

0


Η συνάρτηση του Van der Waerden

(νεώτερη ενημέρωση 20 – 6 – 2013)
Πρόσθεσα δυο ένθετα στο τέλος της ανάρτησης:
Ολόκληρο το άρθρο του περιοδικού Quantum «Η συνάρτηση του Van der Waerden» του Β. Martynov (στο οποίο βασίστηκε η παρούσα ανάρτηση) και
ένα σχετικό απόσπασμα (χάρη στους ανώνυμους σχολιαστές του forum mathematica.gr) από το βιβλίο του Michael Spivak, «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός»

Είναι γνωστό από τα μαθηματικά του σχολείου, πως «αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα δεδομένο σημείο, τότε είναι και συνεχής στο ίδιο σημείο»
theorem1Είναι επίσης γνωστό ότι το αντίστροφο δεν αληθεύει. Για παράδειγμα η συνάρτηση f(x)=│x│ είναι συνεχής στο σημείο x=0 (και σε όλα τα σημεία της) αλλά δεν έχει παράγωγο στο x=0.

Γενικότερα όταν σε κάποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σχηματίζεται «γωνία», τότε στο σημείο αυτό η συνάρτηση δεν έχει παράγωγο.

Μπορούμε να κατασκευάσουμε εύκολα μια συνάρτηση με άπειρο πλήθος γωνιών σε ένα διάστημα. Όλες όμως οι συναρτήσεις αυτές είναι παραγωγίσιμες στην πλειονότητα των σημείων τους.

Για μεγάλο διάστημα μετά την ανακάλυψη του διαφορικού λογισμού οι μαθηματικοί πίστευαν ότι οι συνεχείς συναρτήσεις ήταν «συνήθως» παραγωγίσιμες.

Έτσι επικράτησε μεγάλη αναστάτωση στον κόσμο των μαθηματικών όταν, κατά την δεκαετία του 1880, ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass δημοσίευσε το παράδειγμα μιας συνεχούς συνάρτησης που δεν ήταν παραγωγίσιμη σε κανένα σημείο.
(Παρόμοιο τύπο συνάρτησης είχε προτείνει πριν 40 χρόνια νωρίτερα ο Τσέχος μαθηματικός Bernhard Bolzano, αλλά η εργασία του δεν είχε γίνει ευρέως γνωστή).

«Πως είναι δυνατόν να μας ξεγελάσει τόσο πολύ η διαίσθησή μας;» αναρωτήθηκε ο Γάλλος μαθηματικός Henri Poincaré, ενώ ο συμπατριώτης του Charles Hermite δήλωσε πως «αντικρίζω με τρόμο και αηδία αυτή τη φρικτή πληγή – μια συνεχή συνάρτηση χωρίς παράγωγο σε κανένα σημείο».

Η κατασκευή του Weierstrass ήταν εξαιρετικά δύσκολη, αλλά τον 20ο αιώνα ο ολλανδός μαθηματικός Bartel Leendert van der Waerden πρότεινε ένα πολύ απλούστερο παράδειγμα.

Ξεκινά με τη συνάρτηση φ0, η γραφική παράσταση της οποίας βρίσκεται στο παρακάτω σχήμα
waerden0
Η συνάρτηση φ0 είναι συνεχής σε κάθε σημείο της ευθείας των πραγματικών αριθμών, περιοδική με περίοδο 1 και φραγμένη αφού
½ ≥ φ0(x) ≥ 0
Eπίσης η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς κάθε ευθεία της μορφής x=k/2 , όπου k ακέραιος αριθμός.
Η συνάρτηση φ0 δεν έχει παράγωγο σε κανένα από τα σημεία x=k/2.

Ας δούμε τώρα μια παρόμοια συνάρτηση.

Η συνάρτηση
φ1(x)  =  ½  φ0(2x)
της οποίας η γραφική παράσταση είναι η μπλε γραμμή του παρακάτω σχήματος, δεν έχει παράγωγο στα σημεία x=k/4.
waerden11004

Παρόμοια, η συνάρτηση
φ2(x)  = 1/2φ0(22x)
της οποίας η γραφική παράσταση είναι η μπλε γραμμή του επόμενου σχήματος, δεν έχει παράγωγο στα σημεία x=k/8 (k=ακέραιος)
waerden12006

Συνεχίζοντας, η γραφική παράσταση της
φ3(x) = 1/23φ0(23x) είναι πάλι η μπλε γραμμή του παρακάτω σχήματος, η οποία δεν έχει παράγωγο για κάθε x=k/16
waerden13007
Γενικεύοντας, η συνάρτηση
φn(x) = 1/2nφ0(2nx)
δεν έχει παράγωγο για κάθε x=k/2n.

Διαπιστώνουμε ότι το πλήθος των σημείων στα οποία η συνάρτηση φn(x) δεν έχει παράγωγο αυξάνει όσο μεγαλώνει το n.

Tι θα συμβεί αν προσθέσουμε όλες τις συναρτήσεις φn;
Το άθροισμα θα είναι συνεχές σε όλα τα σημεία και δεν θα έχει παράγωγο σε κάθε σημείο της μορφής k/2n.

Θεωρούμε την ακολουθία των συναρτήσεων
Φn(x) = φ0(x)+ φ1(x)+ …. + φn(x)
Στα τρία προηγούμενα σχήματα με μαύρο χρώμα βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων Φ1, Φ2 και Φ3

Αποδεικνύεται ότι για κάθε x υπάρχει το όριο
limπου συμβολίζεται με Φ(x).
Η συνάρτηση Φ(x) – το όριο του αθροίσματος των συναρτήσεων – είναι περιοδική με περίοδο 1 και φραγμένη 1 ≥ Φ(x) ≥ 0, για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Η σχεδίαση της συνάρτησης Φ(x) είναι αδύνατη.
Μπορούμε όμως παρατηρώντας τα προηγούμενα σχήματα να συμπεράνουμε ότι:
τα σημεία που έχουν «γωνίες» οι συναρτήσεις Φn(x), αυξάνονται καθώς αυξάνεται το n. Συνεπώς αυξάνονται και τα σημεία όπου δεν υπάρχει παράγωγος.

Κάπως έτσι κατασκευάζεται η «απεχθέστατη» συνάρτηση του Van der Waerden, Φ(x), για την οποία αποδεικνύεται – διαβάστε το ένθετο παρακάτω παρακάτω – ότι
ναι μεν είναι συνεχής για κάθε x
όμως δεν έχει παράγωγο σε κανένα σημείο της ευθείας των πραγματικών αριθμών !

========
1. Β. Martynov, «Η συνάρτηση του Van der Waerden», περιοδικό QUANTUM, Σεπτέμβριος/Οκτώβριος 1998

========

2. Michael Spivak, «Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός», Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
theorem5Διαβάστε από τη σελίδα 422 και μετά …

Ετικέτα: