Η διαφορική εξίσωση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης

Posted on 07/04/2013

0


Γιατί η μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται σχεδόν πάντα για εξωτερική δύναμη της μορφής F_{\epsilon \xi} = F_{0} \sin \omega_{\epsilon \xi} t ή F_{0} \cos \omega_{\epsilon \xi} t ;

http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_oscillator#Driven_harmonic_oscillators

Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν η συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του συστήματος τότε έχουμε συντονισμό 

Όταν σε μια μάζα m επιδρά δύναμη της μορφής F=-Dx και δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας F_{b}=-bv , τότε το σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Στην φθίνουσα ταλάντωση η αρχική μηχανική ενέργεια του συστήματος μετατρέπεται σταδιακά σε θερμική μέχρι να μηδενιστεί η κινητική ενέργεια της μάζας.
Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση εμφανίζεται μια επιπλέον εξωτερική δύναμη F_{\epsilon \xi}=F_{\epsilon \xi}(t) , η διεγείρουσα δύναμη, μέσω της οποίας αναπληρώνεται η ενέργεια που χάνεται ως θερμότητα. Η διαφορική εξίσωση της κίνησης στην περίπτωση αυτή προκύπτει εφαρμόζοντας τον δεύτερο νόμο του Newton:
m x''(t) = -D x(t) -b x'(t) + F_{\epsilon \xi}(t)
ή θέτοντας \frac{b}{m} = 2 \gamma , \frac{D}{m} = \omega^{2}_{0} και \frac{F_{\epsilon \xi}(t)}{m} = \phi(t)

x''(t) + 2 \gamma x'(t) + \omega^{2}_{0}x(t)= \phi(t) \, \, \, (1)

Αν x_{k}(t) είναι η λύση της παραπάνω εξίσωσης όταν \phi(t)=\phi_{k}(t) , τότε είναι εύκολο να δειχθεί με απλή αντικατάσταση ότι η λύση της εξίσωσης:
x''(t) + 2 \gamma x'(t) + + \omega^{2}_{0}x(t) = \sum\limits_{k=1}^N c_{k}\phi_{k}(t)
είναι η x(t) = \sum\limits_{k=1}^N c_{k}x_{k}(t)
Εφόσον ασχολούμαστε με ταλαντώσεις που είναι περιοδικά φαινόμενα, είναι λογικό να μας ενδιαφέρουν οι περιπτώσεις που η εξωτερική δύναμη είναι μια περιοδική συνάρτηση του χρόνου. Όμως σύμφωνα με την θεωρία των σειρών Fourier, κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός ημιτόνων και συνημιτόνων.
Έστω ότι η \phi(t) είναι ορισμένη στο διάστημα (0,Τ), και ισχύει \phi(t + T) = \phi(t) , δηλαδή υποθέτουμε ότι η \phi(t) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ.
Τότε το ανάπτυγμα Fourier της \phi(t) είναι:
\phi(t) = a_{0} + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_{k} \cos k \frac{2 \pi t}{T} + b_{k} \sin k \frac{2 \pi t}{T})
ή
\phi(t) = a_{0} + \sum\limits_{k=1}^\infty (a_{k} \cos k \omega_{\epsilon \xi}t + b_{k} \sin k \omega_{\epsilon \xi}t)
Σύμφωνα λοιπόν με τα προηγούμενα, αν συμβολίσουμε με x_{sin,k}(t) την λύση της εξ.(1) όταν \phi(t) = \sin k \omega_{\epsilon \xi} t και με x_{cos,k}(t) την λύση της όταν \phi(t) = \cos k \omega_{\epsilon \xi} t και x_{\sigma \tau}(t) όταν \phi(t) = c , τότε η λύση της εξ.(1) όταν η \phi(t) είναι μια οποιαδήποτε περιοδική συνάρτηση του χρόνου θα είναι
x(t) = x_{\sigma \tau}(t) + \sum\limits_{k=1}^\infty [a_{k} x_{cos,k}(t) + b_{k} x_{sin,k}(t)]
Έτσι, αν έχουμε την λύση της εξαναγκασμένης ταλάντωσης για εξωτερικές δυνάμεις της μορφής
F_{\epsilon \xi} = F_{0} \sin \omega_{\epsilon \xi} t και F_{\epsilon \xi} = F_{0} \cos \omega_{\epsilon \xi} t , τότε μπορούμε να βρούμε την απομάκρυνση για οποιαδήποτε περιοδική εξωτερική δύναμη F_{\epsilon \xi} = f(t) (σύμφωνα με την ανάλυση Fourier ακόμη και η περιοδικότητα πολλές φορές δεν είναι απαραίτητη).
Για τους παραπάνω λόγους η μελέτη της εξαναγκασμένης ταλάντωσης γίνεται σχεδόν πάντα για εξωτερική δύναμη της μορφής
F_{\epsilon \xi} = F_{0} \sin \omega_{\epsilon \xi} t F_{\epsilon \xi} = F_{0} \cos \omega_{\epsilon \xi} t )
και η διαφορική εξίσωση που έχουμε να επιλύσουμε είναι η
x''(t) + 2 \gamma x'(t) + \omega^{2}_{0}x(t)= f \sin \omega_{\epsilon \xi} t \, \, \, \, \acute{\eta} \, \, \, \, f \cos \omega_{\epsilon \xi} t
όπου
\frac{b}{m} = 2 \gamma , \frac{D}{m} = \omega^{2}_{0} και \frac{F_{0}}{m} = f