Ηλεκτρικό πεδίο φορτισμένου δακτυλίου

Posted on 02/03/2013

0


Πως είναι το ηλεκτρικό πεδίο ομοιόμορφης κυκλικής κατανομής φορτίου Q ακτίνας R;

charged ring2Εύκολα μπορεί κανείς να υπολογίσει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στον άξονα z, που είναι κάθετος στο κέντρο του δακτυλίου και διέρχεται από το κέντρο του.
Το μέτρο της έντασης που δημιουργεί το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο dq στο σημείο Ρ είναι:
dE = \frac{k_C dq}{r^2} = \frac{k_C dq}{z^2 + R^2}
H συνολική ένταση στο σημείο Ρ προκύπτει από το άθροισμα των συνιστωσών dE_{z} = dE \cos\theta , δεδομένου ότι οι συνιστώσες dE_{\bot} εξουδετερώνονται.
Έτσι θα έχουμε:
E_z = \int dE_{z} = \int dE \cos\theta = \frac{k_C}{z^2 + R^2} \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} \int dq
οπότε
E_z = \frac{k_C z Q}{(z^2 + R^2)^{3/2}}
Υπάρχουν δυο σημεία πάνω στον άξονα z στα οποία η ένταση παίρνει την μέγιστη τιμή της:
\frac{dE_z}{dz} = 0 \Rightarrow z = \pm \frac{R}{\sqrt{2}}
charged ring3
Aυτό είναι το εύκολο κομμάτι του προβλήματος.
Το δύσκολο είναι να υπολογίσει κανείς την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου ή να σχεδιάσει τις δυναμικές γραμμές του πεδίου. Εκείνο που θα προκύψει φαίνεται στην παρακάτω εικόνα που προέκυψε από την
προσομοίωση του ΜΙΤ (δείτε την ΕΔΩ)

Ενδιαφέρουσα είναι και η διαδραστική επίδειξη του ηλεκτρικού πεδίου γύρω από έναν ομοιόμορφα φορτισμένο δακτύλιο από την Wolfram. Μπορείτε να τη δείτε  ΕΔΩ demonstrations.wolfram.com