Μια δύσκολη συνδεσμολογία αντιστατών

Posted on 07/03/2012

3


Διαβάστε επίσης: Ισοδύναμη αντίσταση κυκλώματος

Οι δώδεκα αντιστάτες του παραπάνω «κυβικού» κυκλώματος έχουν την ίδια αντίσταση R.
Οι ακροδέκτες Α και Β θα συνδεθούν με ηλεκτρική πηγή. Ποια είναι η ισοδύναμη (ολική) αντίσταση των δώδεκα αντιστατών;
Αν τροφοδοτήσουμε το σύστημα με ηλεκτρικό ρεύμα έντασης Ι, τότε το ρεύμα αυτό στον κόμβο (a) χωρίζεται σε τρία ρεύματα i1, i2 και i3. Στη συνέχεια το i1 χωρίζεται στον κόμβο (d) στα i7 και i8 κ.ο.κ.

Η παραπάνω «απελπιστική» κατάσταση απλοποιείται αν χρησιμοποιήσουμε επιχειρήματα συμμετρίας.
Έτσι τα ρεύματα i1, i2 και i3 «απομακρύνονται» από τον πρώτο κόμβο (α) είναι ίσα εξαιτίας της συμμετρίας του κυκλώματος, όπως ίσα είναι επίσης και τα i4, i5 και i6 που καταλήγουν στον τελευταίο κόμβο (g).
Εφαρμόζοντας τον 1ο κανόνα του Kirchhoff στους δυο αυτούς κόμβους παίρνουμε ότι το καθένα από αυτά τα 6 ρεύματα είναι Ι/3.
Αλλά και τα υπόλοιπα ρεύματα, i7 έως και i12, πρέπει λόγω συμμετρίας να είναι ίσα. Εφαρμόζοντας τον 1ο κανόνα Kirchhoff στους υπόλοιπους κόμβους προκύπτει εύκολα ότι

i7 = i8 = i= i10 = i11 = i12 = Ι / 6

Η πτώση τάση π.χ. κατά μήκος της διαδρομής A – (a) – (b) – (f) – (g) – B υπολογίζεται από την εξίσωση:

VA – VB = i3 R + i12 R + i5 R = ΙR/3 + IR/6 + IR/3 = 5IR/6

Για να πάρουμε τελικά:

(Τα σχήματα είναι από το βιβλίο:Foundations of Analog and Digital Electronic Circuits
των Anant Agarwal και Jeffrey Lang)

Ετικέτα: