Το όριο μεταξύ Γενικής Θεωρίας Σχετικότητας και Νευτώνειας θεωρίας

Posted on 29/08/2011

0


  • Πότε παύει να ισχύει η Νευτώνεια θεωρία για τη βαρύτητα και είναι αναγκαία η εφαρμογή της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας;
  • Ποιά σώματα θεωρούνται σχετικιστικά;
  • Η Γη, ο Ήλιος ή ο Γαλαξίας μας είναι σχετικιστικά σώματα;

Η Νευτώνεια θεωρία περιγράφει ικανοποιητικά τη βαρύτητα όταν η μάζα ενός συστήματος είναι μικρή σε σχέση με το μέγεθός του:

M/R << 1

Χρησιμοποιούμε σύστημα μονάδων στο οποίο η ταχύτητα του φωτός c και η σταθερά βαρύτητας G εξισώνονται με τη μονάδα. Στο σύστημα αυτό το μήκος μετρείται πάλι σε μέτρα (m) όπως επίσης και μάζα! Για να μετατρέψουμε τα kg του Διεθνούς Συστήματος Μονάδων (S.I.) σε m του νέου συστήματος έχουμε

Έτσι, η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας είναι σημαντική σε καταστάσεις όπου η μάζα είναι συγκρίσιμη με το μέγεθος του συστήματος

M/R~1 ή και >1

Στο Διεθνές Σύστημα Μονάδων (S.I.) η ισχύς της Νευτώνειας θεωρίας χαρακτηρίζεται από την συνθήκη

Μ/R << 10-27 kg/m

ενώ η Γ.Θ.Σχ. εφαρμόζεται όταν

M/R~10-27 kg/m ή M/R >10-27kg/m

Ας εξετάσουμε μερικά παραδείγματα.
Η Γη ή ο Ήλιος είναι σχετικιστικά σώματα;
Η ακτίνα της Γης είναι RΓης≈6,4×106m,
ενώ η μάζα της είναι MΓης≈6×1024kg ή ή στο νέο σύστημα μονάδων όπου G=c=1, MΓης≈4,4×10-3m
οπότε

MΓης/RΓης~7×10-10 << 1

Συνεπώς η Γη δεν είναι σχετικιστικό σώμα.
Η ακτίνα του ήλιου είναι RΉλιου≈7×1010m και η μάζα του
MΉλιου≈2×1030kg ή ή M Ήλιου ≈1,5×103m
Έτσι

MΉλιου/ RΉλιου>~10-8 << 1

Επομένως και ο ήλιος είναι μη σχετικιστικό σώμα.
Τι συμβαίνει στην περίπτωση του ιδίου του σύμπαντος; Καθώς εξετάζουμε περιοχές συνεχώς αυξανόμενης R, η μάζα θα αυξάνει ως R3 και η τιμή του λόγου M/R βαθμιαία αυξάνεται.
Πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το R, ώστε να είναι σημαντική η εφαρμογή της Γενικής Θεωρίας της. Σχετικότητας;
Υποθέτουμε ότι το R=0 βρίσκεται στο κέντρο του ήλιου. Ο ήλιος δεν αποτελεί σχετικιστικό σώμα και όταν το υπερβεί την ακτίνα του RΉλιου, το M δεν αυξάνει σχεδόν καθόλου έως ότου φθάσουμε στον αμέσως επόμενο αστέρα. Το αστρικό σύστημα στο οποίο ανήκει ο ήλιος είναι ο γαλαξίας, ο οποίος περιέχει συνολικά 1011 αστέρες στο εσωτερικό μιας ακτίνας της τάξης των 15kpc (1 parsec είναι περίπου 3.1016m).
Για το παραπάνω σύστημα έχουμε M/R~10-6, περίπου η τιμή που λαμβάνουμε για τον ήλιο.
Κατά συνέπεια, στη μελέτη της γαλαξιακής δυναμικής δεν χρειάζεται η Γενική Σχετικότητα.
Βέβαια αυτά ισχύουν όταν αναφερόμαστε σ’ ένα γαλαξία ως ενιαίο σύστημα και όχι σε μικρές περιοχές του γαλαξία όπου μπορεί να κυριαρχούν μελανές οπές ή άλλα σχετικιστικά σώματα.
Στα πλαίσια της κοσμολογίας οι μεμονωμένοι γαλαξίες είναι δομές πολύ μικρής κλίμακας και θωρούνται ως άτομα στο ευρύτερο σύμπαν.
Ακόμη και τα σμήνη των γαλαξιών, που μπορεί να περιέχουν χιλιάδες γαλαξίες δεν είναι παρά απλές διακυμάνσεις πυκνότητας. Με τα σημερινά τηλεσκόπια μπορούμε να εισχωρήσουμε σε αποστάσεις της τάξης των 1011pc, ενώ μια τυπική διάμετρος ενός γαλαξιακού σμήνους ισούται με μερικά εκατομμύρια pc. Είναι δηλαδή κατά πολύ μικρότερη της παραπάνω απόστασης.
Μελετώντας το σύμπαν κατά μέσο όρο π.χ. ανά αποστάσεις των 109pc, παρατηρούμε μια καταπληκτική ομοιομορφία σε κάθε σημείο του. Το σύμπαν φαίνεται να χαρακτηρίζεται σε μεγάλη κλίμακα από την ίδια περίπου πυκνότητα σε κάθε σημείο.
Η πυκνότητα αυτή είναι τουλάχιστον 10-28kg/m3, αλλά μπορεί να είναι κατά πολύ μεγαλύτερη.
Η αβεβαιότητα αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι μπορούμε να προσδιορίσουμε πειραματικά μόνον την ύλη που εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Υπάρχουν έμμεσες ενδείξεις ότι η πυκνότητα της αόρατης «σκοτεινής» ύλης υπερβαίνει αυτήν της ορατής. Λαμβάνοντας υπόψιν την πυκνότητα αυτή υπολογίζουμε την μάζα από την εξίσωση M=4πρR3/3.
Η μάζα που υπολογίζεται ισούται με R αν R~1027m~104 Mpc.
Καθώς έχουμε τη δυνατότητα μελέτης σωμάτων σε τέτοιες αποστάσεις (όπως οι quasars), συμπεραίνουμε ότι η Γενική Σχετικότητα είναι αναγκαία για την κατανόηση του σύμπαντος, του σύμπαντος που μας το αποκαλύπτουν τα τηλεσκόπια.
ΠΗΓΗ: Γενική Σχετικότητα, Bernard F. Schutz, εκδόσεις Κωσταράκη, 1994