Μια απροσδόκητη εμφάνιση του αριθμού e=2,718…

Καταρχήν χρειαζόμαστε μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών μεταξύ 0 και 1.

Γι αυτό πηγαίνουμε στον ιστότοπο  www.wolframalpha.com και εισάγουμε την εντολή RandomReal[{0,1}]

Πατώντας το ίσον δημιουργείται ένας τυχαίος αριθμός στο διάστημα  μεταξύ 0 και 1. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε και έναν δεύτερο τυχαίο αριθμό στο ίδιο διάστημα.

Εξετάζουμε το άθροισμα των δυο τυχαίων αριθμών. Αν είναι μικρότερο του 1 δημιουργούμε άλλον έναν και τον προσθέτουμε στο προηγούμενο άθροισμα ελέγχοντας αν το άθροισμα να ξεπερνά το 1 κ.ο.κ.
Το ερώτημα που τίθεται είναι: πόσοι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα 0 έως 1 χρειάζονται κατά μέσο όρο, ώστε το άθροισμά τους να ξεπεράσει το 1; 

Η απάντηση……

είναι ο αριθμός 2,71828…., η βάση των φυσικών ή νεπέριων λογαρίθμων ή αλλιώς ο αριθμός του Euler!

Εκτελώντας το «πείραμα» μόνο 19 φορές βρήκαμε ότι το πλήθος των τυχαίων αριθμών που απαιτείται ώστε το άθροισμά τους να είναι μεγαλύτερο του 1 ήταν κάθε φορά:

2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 2

Κατά μέσο όρο δηλαδή 51/19=2,684…. που είναι αρκετά κοντά στον αριθμό e.

Η παραπάνω πρόταση αποδεικνύεται αναλυτικά ή είναι εικασία;



Κατηγορίες:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2 replies

  1. Για την εικασία που περιγράφετε, με τη βοήθεια της συνάρτησης =RAND(), σε ένα φύλλο excel, εκτέλεσα 20.000 πειράματα των 20.000 «φορών» το καθένα και για την κάθε φορά χρησιμοποιήθηκαν έως 10 τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα (0,1).
    Για το κάθε πείραμα δηλαδή, παρήχθησαν 20.0000 ακολουθίες της μορφής 2, 3, 3, 2, 2, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 2 ….. με 20.000 όρους η κάθε μία.
    Παρήχθησαν, λοιπόν, 20.000 μέσες τιμές για τις οποίες:
    Μεγαλύτερη τιμή=2,7381
    Μικρότερη τιμή=2,6972
    Μέση τιμή=2,718263125
    Διάμεσος=2,71825
    Πλησιέστερη τιμή στην e=2,7183
    Κύρτωση=-0,020748452
    Οι μέσες τιμές των πειραμάτων δείχνουν να ακολουθούν ομοιόμορφη κανονική κατανομή.
    (Σε ελάχιστες από τις 400 εκατομμύρια περιπτώσεις, οι 10 αριθμοί δεν επαρκούσαν να συμπληρώσουν το άθροισμα 1, στις περιπτώσεις αυτές οι 10 τυχαίοι αριθμοί θεώρησα ότι παράγουν για όρο της ακολουθίας το 10.)

  2. (Ορθή επανάληψη)

    Συγγνώμη για το «necroposting», σε περίπτωση όμως που κάποιος πέσει τυχαία πάνω του.
    Δεδομένου ότι η επιλογή τυχαίων αριθμών είναι ομοιόμορφη στο [0,1) αποδεικνύεται αναλυτικά μέσω γεωμετρικών πιθανοτήτων και μάλιστα υπάρχει κλειστός τύπος για το (κατά μέσο όρο) ελάχιστο πλήθος βημάτων, όπου πλέον το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών απαιτείται να ξεπερνάει έναν φυσικό αριθμό μεγαλύτερο της μονάδος. http://mathworld.wolfram.com/UniformSumDistribution.html Ο σωστός τύπος (16) χωρίς το τυπογραφικό λάθος και κρατώντας τη μη-απλοποίηση, θα έπρεπε να είναι: =\frac{1}{(s-1)!}\sum_{k=0}^{s-1}\frac{(-1)^k(s-1)!(s-k)^k e^{s-k}}{k!}. Η γενίκευση του ερωτήματος είναι πράγματι ενδιαφέρουσα γιατί παρατηρεί κανείς πως ασυμπτωτικά ισχύει ότι: ~ 2*s + 2/3 γεγονός το οποίο φαίνεται να διαπραγματεύονται με περισσότερη εμβρίθεια εδώ: http://faculty.wwu.edu/curgus/Papers/27Unexpected.pdf (τύπος 1.1) και εδώ http://math.exeter.edu/rparris/peanut/wtsurprise.pdf (Θεώρημα 2).

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: