Δραπετεύοντας από πεδίο βαρύτητας με επιτόπιο άλμα !

μικρος_πρίγκηπαςΣε μια συζήτηση σχετικά με την αποστολή αστροναυτών σε αστεροειδείς δημιουργήθηκε το εξής ερώτημα: Ποιο είναι το όριο στο μέγεθος ενός αστεροειδούς πέραν του οποίου, ένας αστροναύτης που βρίσκεται πάνω σ’ αυτόν μπορεί με ένα επιτόπιο άλμα (κατακόρυφα προς τα πάνω) να διαφύγει, από το πεδίο βαρύτητας του αστεροειδούς. Για να δοθεί μια γρήγορη απάντηση στο ερώτημα αυτό έγιναν οι κατάλληλες προσεγγίσεις. Για έναν αστεροειδή σχεδόν σφαιρικό με πυκνότητα περίπου ίση με την πυκνότητα της Γης, ένας αστροναύτης μπορεί να ξεφύγει από την βαρυτική έλξη του αστεροειδούς με ένα επιτόπιο άλμα, αν η ακτίνα του είναι μικρότερη από … 2,5 χιλιόμετρα !
Καταρχήν θεωρήθηκε ότι ένας άνθρωπος στην επιφάνεια της Γης μπορεί με επιτόπιο άλμα προς τα πάνω να φτάσει σε μέγιστο ύψος περίπου:
h = 1 m (ίσως να φτάνει και σε μεγαλύτερο ύψος, όμως πρέπει να πάρουμε υπόψη μας και την δυσκολία που δημιουργεί η στολή του αστροναύτη…)
Η ταχύτητα με την οποία εκτοξεύεται ο άνθρωπος για να φτάσει σ’ αυτό το ύψος υπολογίζεται εύκολα από την αρχή διατήρησης της ενέργειας

Όπου gγης είναι επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης, η οποία υπολογίζεται από την εξίσωση:

G είναι η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, Μγης η μάζα της Γης και Rγης η ακτίνα της Γης που είναι περίπου 6400 Km.
Η εξίσωση για την πυκνότητα της Γης δίνει:

Από τις εξισώσεις (2) και (3) η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης γράφεται

Αντικαθιστώντας την εξ. (4) στην εξ. (1) έχουμε για την αρχική ταχύτητα του ανθρώπου όταν κάνει κατακόρυφο επιτόπιο άλμα

Η ταχύτητα διαφυγής από την επιφάνεια του αστεροειδή υπολογίζεται με αρχή διατήρησης της ενέργειας, υποθέτοντας ότι ο αστροναύτης διαφεύγει από το πεδίο βαρύτητας του αστεροειδούς φθάνοντας σε «άπειρη» απόσταση με ταχύτητα μηδέν

Από την εξίσωση της πυκνότητας για τον αστεροειδή (υποθέτοντας ότι αυτός έχει σφαιρικό σχήμα και ίδια πυκνότητα με τη Γη) προκύπτει

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της ταχύτητας διαφυγής του αστροναύτη από τον αστεροειδή προκύπτει:

Με επιτόπιο άλμα ο αστροναύτης μπορεί να αποκτήσει την ταχύτητα που δίνεται από την εξίσωση (5). Εξισώνουμε την ταχύτητα αυτή με την ταχύτητα διαφυγής – εξ. (6) – και παίρνουμε την ακτίνα του αστεροειδούς

Για Rγης = 6400 km και h = 1m προκύπτει ότι η ακτίνα του αστεροειδή είναι περίπου 2,5 km.
Αν η πυκνότητα του αστεροειδούς ήταν διπλάσια της πυκνότητας της Γης τότε προκύπτει ακτίνα 1,8 km
Aν η πυκνότητα της Γης είναι διπλάσια του αστεροειδούς προκύπτει ακτίνα 3,5 km.



Κατηγορίες:ΒΑΡΥΤΗΤΑ

Ετικέτες: ,

5 replies

  1. Πολύ ωραίο πρόβλημα, αλλά ……. Γνωρίζετε ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης είναι εκτός ύλης και δεν διδάσκεται Λύκειο;

    • Μπορεί να είναι εκτός ύλης αλλά και το βιβλίο της πρώτης και το βιβλίο της δευτέρας (κατεύθυνση) τον έχουν (τουλάχιστον το περσινό βιβλίο της πρώτης που είχα, φέτος είμαι δευτέρα). Δύο πράματα εδώ που τα λέμε μπορεί να τα πει ο καθηγητής, απλά δεν βλέπω πάντα ενδιαφέρον από όλους τους καθηγητές… (καλά, όχι ότι οι μαθητές έχουν)

      • Αγαπητέ Θάνο, εσυ που ενδιαφέρεσαι για τη φυσική (αφου έχεις και δικό σου σχετικό σάιτ) θα ήσουν ικανοποιημένος με τα «δυο πράγματα» ,που θα σου έλεγε ο καθηγητης εκτός ύλης, για το πιο σημαντικό νόμο της κλασικής φυσικής;

        Το ότι είναι εκτός διδακτέας ύλης δεν σε εξοργίζει;

        Σε ποια χωρα του πλανήτη δε διδασκεται ο νόμος της παγκόσμιας έλξης;
        Την υποβάθμιση του μαθήματος της φυσικής δεν την αντιλαμβάνεσαι;

        Να υποθέσω πως το ενδιαφέρον για τις …. μαύρες τρύπες στην τάξη σου κι όχι μόνο στη δική σου χτυπάει κόκκινο; Αλλά τι σχέση έχουν οι μαυρες τρύπες με τη βαρύτητα!

        • Δεν είναι υποβαθμισμένη μόνο η Φυσική… αλλά τα πάντα! Φυσικά και με «εξοργίζει» το γεγονός ότι είναι εκτός ύλης ένας τόσο σπουδαίος νόμος, αλλά το αποδέχομαι, δεν μπορώ να κάνω άλλιως. Όταν η Φυσική μετατρέπεται σε μάθημα ασκήσεων και όχι σε μάθημα κατανόησης της φύσης, τότε λογικό είναι να μην διδάσκονται πολλά πράματα. Πάντως είναι γεγονός, ότι ο νόμος της παγκόσμιας έλξης είναι θεμελιώδης και θα έπρεπε οπωσδήποτε να διδασκόταν, δεν διαφωνώ. Νομίζω πως ούτε και στο πρώτο μου post διαφώνησα, δεν υποστήριξα πως καλά κάνουν και δεν τον βάζουν στην ύλη.

          Όσο για τις μαύρες τρύπες, φυσικά και υπάρχει ενδιαφέρον, ακούγεται πολύ «επιστημονικός» όρος και όλοι θέλουν να μάθουν κάτι γι’ αυτό, όπως επίσης και για την κβαντομηχανική, την υπεραγωγιμότητα, την σχετικότητα και γενικά όλη την σύγχρονη φυσική, αλλά όλα αυτά πώς θα γίνουν άμα το σύστημα εξετάζει άλλα αντί άλλων; Δίνεται περισσότερη έμφαση στον τύπο, αν θα έχει 1/2 δηλαδή μπροστά ή όχι, παρά στην ουσία. Ειδικά το FBI στην 2α λυκείου στην κατεύθυνση, που όλοι στραμπουλάνε τα χέρια τους. Σκασίλα του του άλλου τι είναι το εξωτερικό γινόμενο, λες και θα του χρειαστεί ποτέ, την ουσία θέλει να μάθει!

          Τέλος πάντων, δεν είμαι σε θέση να κρίνω κανένα, σίγουρα σε αυτά που έχω γράψει έχω κάνει πολλά λάθη. Αυτά από μένα.

  2. Ὑπερπεντηκοντούτης πλέον, πλήν ὅμως ἔχοντας ἀκόμη γνώση τοῦ τί διδάσκεται στά σχολεῖα λόγῳ τέκνων, μπορῶ μετά βεβαιότητος νά συγκρίνω καί νά πῶ: διδάχθηκα περισσότερη φυσική, ὄχι μετρώντας τίς σελίδες ἀλλά τό εὖρος τῆς ὕλης. Ὅμως τήν διδάχθηκα δίνοντας περισσότερη βαρύτητα (νά τη πάλι αὐτή ἡ δυσνόητη δύναμη!) στή θεωρία παρά στίς ἀσκήσεις. Τήν διδάχθηκα ἀπό ἀνθρώπους πού καί τήν ἤξεραν καί τήν ἀγαποῦσαν καί ἤξεραν νά τήν διδάξουν. (Σύμφωνοι, δέν ἦταν ὅλοι ἔτσι, οὔτε ὅμως ἦταν τόσο ἀπελπιστικά σπάνιοι). Καί κυρίως, ἀπό ἀνθρώπους πού ήξεραν νά μέ κάνουν νά τήν ἀγαπήσω. Τό ἀποτέλεσμα φαίνεται μέχρι σήμερα. Παρότι οὔτε οἰ σπουδές μου οὔτε τό ἐπάγγελμά μου ἔχουν σχέση μέ τή φυσική, δέν ἔχω σταματήσει νά τήν μελετῶ, νά παρακολουθῶ τίς ἐξελίξεις της. Ἔχουν πέσει στά χέρια μου ἀρκετά βιβλία πού θά ἔκαναν πολλούς μαθητές νά ἐνδιαφερθοῦν γιά τή φυσική, νά τήν ἀγαπήσουν. Πόσες φορές ἀναρωτήθηκα πόσο διαφορετική θά ἦταν ἡ σχέση τῶν μαθητῶν μέ τή φυσική (καί ὄχι μόνο, προσθέτω τή χημεία καί τή γεωμετρία) ἄν κάποιος ἀποφάσιζε νά ἀντικαταστήσει τά σημερινά ἀδιάφορα ἕως κακά βιβλία μέ ἄλλα, γραμμένα γιά νά μεταφέρουν γνώση καί προβληματισμό.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Ο ιστότοπος χρησιμοποιεί το Akismet για την εξάλειψη των ανεπιθύμητων σχολίων. Μάθετε πως επεξεργάζονται τα δεδομένα των σχολίων σας.

Αρέσει σε %d bloggers: